AcWing845 八数码1.0

题目描述

在3×3的棋盘上，摆有八个棋子，每个棋子上标有1至8的某一数字。棋盘中留有一个空格，空格用0来表示。空格周围的棋子可以移到空格中。要求解的问题是：给出一种初始布局（初始状态）和目标布局（为了使题目简单,设目标状态为123804765），找到一种最少步骤的移动方法，实现从初始布局到目标布局的转变。

输入格式

输入初始状态，一行九个数字，空格用0表示

输出格式

只有一行，该行只有一个数字，表示从初始状态到目标状态需要的最少移动次数(测试数据中无特殊无法到达目标状态数据)

输入

283104765

输出

4

思路

容易想到用bfs来搜索，那么怎么记录下每一种状态是否被搜索到了呢？
思考1：每一个状态用一个字符串存储，要9个字节，需要的空间太大了。
思考2：每一个状态用一个int来存储，因为$87654321<2^{31}$，但是还是太大了。
思考3：注意到总共的状态数目为9！个，可以用康托展开来得到每一个状态对应的hash值，这样就能过了。
思考4：其实，stl中的unordered_map（哈希表实现）同样可以完成这个任务，更加的方便，所花费的空间和方案3差不多。

思考4：代码

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#include <iostream>
#include <unordered_map>
#include <queue>
using namespace std;
queue<string> q;
string e = "123804765";
int dx[] = {-1, 0, 1, 0}, dy[] = {0, 1, 0, -1};
unordered_map<string, int> h;

void bfs(string s){
    h[s] = 0;
    q.push(s);
    while(!q.empty()){
        string f = q.front();
        if(f == e){
            cout << h[e];
            return;
        }
        q.pop();
        int k = f.find('0');
        int x = k /3, y = k % 3;
        int dist = h[f];
        for(int i = 0; i < 4; i++){
            int a = x + dx[i], b = y + dy[i];
            if(a >= 0 && a <= 2 && b >=0 && b <= 2 ){
                swap(f[k], f[a * 3 + b]);
                if(!h.count(f)){
                    q.push(f);
                    h[f] = dist + 1; 
                }
                swap(f[k], f[a * 3 + b]);
            }
        }
    }
    cout << "-1";
}
int main()
{
    string s;
    char c;
    for(int i = 0; i < 9; i++){
        cin >> c;
        s += c;
    }
    bfs(s);
}

AcWing179 八数码2.0

题目描述

在一个 3×3的网格中，1∼8 这 8 个数字和一个 X 恰好不重不漏地分布在这 3×3的网格中。

例如：

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1 2 3
X 4 6
7 5 8

在游戏过程中，可以把 X 与其上、下、左、右四个方向之一的数字交换（如果存在）。

我们的目的是通过交换，使得网格变为如下排列（称为正确排列）：

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3
1 2 3
4 5 6
7 8 X

例如，示例中图形就可以通过让 X 先后与右、下、右三个方向的数字交换成功得到正确排列。

交换过程如下：

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1 2 3   1 2 3   1 2 3   1 2 3
X 4 6   4 X 6   4 5 6   4 5 6
7 5 8   7 5 8   7 X 8   7 8 X

把 X 与上下左右方向数字交换的行动记录为 u、d、l、r。

现在，给你一个初始网格，请你通过最少的移动次数，得到正确排列。

输入格式

输入占一行，将 3×3 的初始网格描绘出来。

例如，如果初始网格如下所示：

1
2
3
1 2 3 
x 4 6 
7 5 8

则输入为：1 2 3 x 4 6 7 5 8

输出格式

输出占一行，包含一个字符串，表示得到正确排列的完整行动记录。

如果答案不唯一，输出任意一种合法方案即可。

如果不存在解决方案，则输出 unsolvable。

输入

1
2  3  4  1  5  x  7  6  8

输出

1
ullddrurdllurdruldr

思路

基本想法同上，但还可以优化

思考5：A*算法

A*

使用A*算法需注意一下几点：

  • 估计距离一定要小于等于实际距离。这道题中估计距离为，每个数字到它应该到的位置的曼哈顿距离之和。
  • 除终点外，所有点在出队时，不能保证找到最短路径
  • 需要保证有解，否则算法复杂度会退化为朴素解法。对于这道题，可以证明有解的充要条件为：逆序对数量为偶数
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#include <iostream>
#include <vector>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <math.h>
#include <queue>
#include <deque>
#include <unordered_map>
using namespace std;
typedef pair<int,int> PII;
typedef pair<int,string> PIS;



int f(string state){  //估计距离
    int res = 0;
    for (int i = 0; i < state.size(); i ++ )
        if (state[i] != 'x')
        {
            int t = state[i] - '1';
            res += abs(i / 3 - t / 3) + abs(i % 3 - t % 3);
        }
    return res;

}
string bfs(string start){
    unordered_map<string,int> dist; //状态距离起点的距离
    unordered_map<string,pair<string,char> >prev;//记录是从哪一个状态转,什么方式移过来的
    priority_queue<PIS,vector<PIS>,greater<PIS> >hp;//小根堆
    string ed="12345678x";
    int dx[4] = {-1, 0, 1, 0}, dy[4] = {0, 1, 0, -1};
    char op[4] = {'u', 'r', 'd', 'l'};

    hp.push({f(start), start});
    dist[start] = 0;

    while(hp.size()) {
        PIS t = hp.top();
        hp.pop();

        string state = t.second;
        if (state == ed) break;

        int step = dist[state];
        int x, y;
        for (int i = 0; i < state.size(); i++)
            if (state[i] == 'x') {
                x = i / 3, y = i % 3;
                break;
            }
        string source = state;


        for (int i = 0; i < 4; i++) {
            int a = x + dx[i], b = y + dy[i];
            if (a < 0 || a >= 3 || b < 0 || b >= 3) continue;
            swap(state[x * 3 + y], state[a * 3 + b]);
            if (!dist.count(state) || dist[state] > step + 1) {
                dist[state] = step + 1;
                prev[state] = {source, op[i]};
                hp.push({dist[state] + f(state), state});
            }
            swap(state[x * 3 + y], state[a * 3 + b]);
        }
    }
        string res;
        while (ed != start) {
            res += prev[ed].second;
            ed = prev[ed].first;
        }
        reverse(res.begin(), res.end());
        return res;

}

int main(){
    string g,seq;
    char c;
    while(cin>>c){
        g+=c;
        if(c!='x') seq+=c;
    }
    int cnt=0;
    for(int i=0;i<8;i++){
        for(int j=i+1;j<9;j++){
            if(seq[j]<seq[i]) cnt++;
        }
    }
    if(cnt%2){
        cout<<"unsolvable"<<endl;
        return 0;
    }
    cout<<bfs(g)<<endl;

    return 0;
}