股票买卖 II

题意：给定股票每天的价格a[]，要求计算可以获得的最大利润（交易次数不限，只能买一股）

思考：贪心。若最优解有在第i天买，第j天卖，那么利润等同于连续在i...j 天买卖。所以只要a[i-1]<a[i]，就把它算到利润中去。

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;
typedef long long LL;
int n,a[100010];
LL ans;
int main(){
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d",&a[i]);
        if(i!=1&&a[i]>a[i-1]) ans+=a[i]-a[i-1];
    }
    cout<<ans;
    return 0;
}

技巧总结：将最优解的一部分等价替换为一系列简单的操作。

货仓选址

题意：线段上N家商店，位置已给定，要求选取一个仓库，到所有商店的距离和最小

思考：其实就是小学奥数题。先猜将仓库建到中间，证明：推表达式，形式是一系列绝对值的和，将他们按照在仓库左边/在仓库右边分组，可以去掉绝对值。最后发现取中间时最小。

#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 100005;

int n, res;
int a[N];

int main()
{
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 0; i < n; i ++ ) scanf("%d", &a[i]);

    sort(a, a + n);

    for (int i = 0; i < n; i ++ ) res += abs(a[i] - a[n >> 1]);
    printf("%d\n", res);

    return 0;
}

技巧总结：数据范围1e5，大概率nlong n，不妨排个序。

糖果传递

题意：有 n个小朋友坐成一圈，每人有 a[i] 个糖果。每人只能给左右两人传递糖果。每人每次传递一个糖果代价为 1。求使所有人获得均等糖果的最小代价。

思考：高中数学题。看数据范围，不太可能用dp，先试着用推导数学公式。

假设标号为i的小朋友开始有Ai颗糖果，Xi表示第i个小朋友给了第i-1个小朋友Xi颗糖果，如果Xi<0，说明第i-1个小朋友给了第i个小朋友Xi颗糖果，X1表示第一个小朋友给第n个小朋友的糖果数量。所以最后的答案就是ans=|X1| + |X2| + |X3| + ……+ |Xn|。

按定义。有A1-X1+X2=ave。A2-X2+X3=ave……

最终，我们可以得到n个方程，一共有n个变量，但是因为从前n-1个方程可以推导出最后一个方程，所以实际上只有n-1个方程是有用的。尽管无法直接解出答案，但可以用X1表示出其他的Xi，那么本题就变成了单变量的极值问题。

对于第1个小朋友，A1-X1+X2=ave -> X2=ave-A1+X1 = X1-C1(假设C1=A1-ave，下面类似）
对于第2个小朋友，A2-X2+X3=ave -> X3=ave-A2+X2=2ave-A1-A2+X1=X1-C2 即C2=A1+A2-2ave=A2+C1-ave以此类推Ci的通式为Ci=Ai+C[i-1]-ave

我们希望Xi的绝对值之和尽量小，即|X1| + |X1-C1| + |X1-C2| + ……+ |X1-Cn-1|要尽量小。注意到|X1-Ci|的几何意义是数轴上的点X1到Ci的距离，所以这道题变成了上面货仓选址这题。

#include<iostream>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
int n,a[1000001],c[1000001],ave;ll sum;
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&a[i]);
        sum+=a[i];
    }
    ave=sum/n;

    for(int i=2;i<=n;i++)
       c[i]=c[i-1]+a[i]-ave;
    sort(c+1,c+n+1);



    ll ans=0;
    int mid=c[(n>>1)+1];
    for(int i=1;i<=n;i++)
       ans+=abs(c[i]-mid);
    printf("%lld",ans); 
    return 0;
}

技巧总结：遇到这种题就要耐心推数学公式

雷达设备

题意：一个平面直角坐标系，雷达位于x轴上，监测范围是半径为d的圆，有若干小岛位于x轴上方，问需要多少雷达能监测所有小岛。

思考：计算雷达监测的范围较困难。我们计算监测某个小岛，雷达需要在的范围。对于每个小岛，都计算出这样一个区间。那么就转换成了经典的贪心问题：区间选点。先对右端点排个序，然后从左到右依次选未覆盖区间的右端点。

#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cmath>

using namespace std;

typedef pair<double, double> PDD;
const int N = 1010;
const double eps = 1e-6, INF = 1e10;

int n, d;
PDD seg[N];

int main()
{
    cin >> n >> d;

    bool success = true;

    for (int i = 0; i < n; i ++ )
    {
        int x, y;
        cin >> x >> y;
        if (y > d)
        {
            success = false;
            break;
        }
        auto len = sqrt(d * d - y * y);
        seg[i] = {x + len, x - len};
    }

    if (!success) puts("-1");
    else
    {
        sort(seg, seg + n);
        int res = 0;
        double last = -INF;
        for (int i = 0; i < n; i ++ )
        {
            if (seg[i].second > last + eps)
            {
                res ++ ;
                last = seg[i].first;
            }
        }
        cout << res << endl;
    }
    return 0;
}