蒙德里安的梦想

题意

思考

题目分析
摆放方块的时候，先放横着的，再放竖着的。总方案数等于只放横着的小方块的合法方案数。

如何判断，当前方案数是否合法？ 所有剩余位置能否填充满竖着的小方块。可以按列来看，每一列内部所有连续的空着的小方块需要是偶数个。

状态表示
f[i][j] 表示已经将前 i -1 列摆好，且从第 i−1列，伸出到第 i 列的状态是 j 的所有方案。其中j是一个二进制数，用来表示哪一行的小方块是横着放的，其位数和棋盘的行数一致。

状态转移
既然第 i 列固定了，我们需要看 第 i-2 列是怎么转移到到第 i-1列的（看最后转移过来的状态）。假设此时对应的状态是k（第i-2列到第i-1列伸出来的二进制数，比如00100），k也是一个二进制数，1表示哪几行小方块是横着伸出来的，0表示哪几行不是横着伸出来的。

它对应的方案数是 f[i−1,k]，即前i-2列都已摆完，且从第i-2列伸到第i-1列的状态为 k 的所有方案数。

这个k需要满足什么条件呢?

首先==k不能和 j在同一行==（如下图）：因为从i-1列到第i列是横着摆放的12的方块，那么i-2列到i-1列就不能是横着摆放的，否则就是1 3的方块了！这与题意矛盾。所以 k和j不能位于同一行。

既然不能同一行伸出来，那么对应的代码为(k & j ) ==0 ，表示两个数相与，如果有1位相同结果就不是0， (k & j ) ==0表示 k和j没有1位相同， 即没有1行有冲突。

既然从第i-1列到第i列横着摆的，和第i-2列到第i-1列横着摆的都确定了，那么第i-1列 空着的格子就确定了，这些空着的格子将来用作竖着放。如果 某一列有这些空着的位置，那么该列所有连续的空着的位置长度必须是偶数。

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#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>

using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 12, M = 1 << N;

int n, m;
LL f[N][M];
vector<int> state[M];
bool st[M];

int main(){
    while(cin>>n>>m,n||m){
        for (int i = 0; i < 1 << n; i ++ )
        {
            int cnt = 0;
            bool is_valid = true;
            for (int j = 0; j < n; j ++ )
                if (i >> j & 1)
                {
                    if (cnt & 1)
                    {
                        is_valid = false;
                        break;
                    }
                    cnt = 0;
                }
                else cnt ++ ;
            if (cnt & 1) is_valid = false;
            st[i] = is_valid;
        }
         for (int i = 0; i < 1 << n; i ++ )
        {
            state[i].clear();
            for (int j = 0; j < 1 << n; j ++ )
                if ((i & j) == 0 && st[i | j])
                    state[i].push_back(j);
        }

        memset(f, 0, sizeof f);
        f[0][0] = 1;
        for (int i = 1; i <= m; i ++ )
            for (int j = 0; j < 1 << n; j ++ )
                for (auto k : state[j])
                    f[i][j] += f[i - 1][k];

        cout << f[m][0] << endl;
    }

    return 0;
    
}

炮兵阵地

题意

求最多摆放多少炮兵

思考

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#include <iostream>
#include <vector>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N=10,M=1<<N;
int f[2][M][M];
int mp[1010];
int cnt[M];
vector<int> fst;

bool check(int state,int x)
{
    for (int i = 0; i < x; i ++ )
        if ((state >> i & 1) && ((state >> i + 1 & 1) || (state >> i + 2& 1)))
            return false;
    return true;
}
int count(int state,int y)
{
    int res = 0;
    for (int i = 0; i < y; i ++ )
        if (state >> i & 1)
            res ++ ;
    return res;
}

int main(){
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=0;j<m;j++){
            char c;
            cin>>c;
            mp[i]+=(c=='H')<<j;
        }
    }
    for (int i = 0; i < 1 << m; i ++ )
        if (check(i,m))
        {
            fst.push_back(i);
            cnt[i] = count(i,m);
        }
    for(int i=1;i<=n+2;i++){
        for(int j:fst){
            for(int k:fst){
                for(int u:fst){
                    if((j&k)|(k&u)|(u&j)) continue;
                    if((mp[i-1]&j)|(mp[i]&k)) continue;
                    f[i&1][j][k] = max(f[i&1][j][k],f[(i-1)&1][u][j]+ cnt[k]);
                }
            }
        }
    }
    cout<<f[(n+2)&1][0][0];
    return 0;
}

题意

思考

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